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Dr. Klaus Rödler
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Rechnen durch Handeln
Grundlinien des Konzepts Rechnen-durch-Handeln
Das Problem ist nicht das Rechnen, es sind die Zahlen
Wenn man kleinen Kindern die Aufgabe gibt, sich Bonbons zu teilen, so können sie das selbst dann tun, wenn sie noch gar nicht zählen können. Selbst wenn sie noch zu klein sind, um das Problem durch Reih-um-Verteilen zu lösen und vielleicht grabschen, können sie beurteilen, ob und wann Ergebnis gerecht ist. Schwierig wird eine Aufgabe wie 25:3= nur dadurch, dass das Problem sich in einer den Kindern unzugänglichen Form präsentiert. Erst durch die Verwandlung in sehr abstrakte Symbole und Zahlzeichen wird es zu einer Aufgabe, die den Zahlraum bis 100 voraussetzt und in der zweiten Hälfte des zweiten Schuljahres angesiedelt ist.
Es ist diese Verwandlung in Zahl, die das Rechnen so schwierig macht. Es ist die Kopplung des Rechnens an unsere Zahlen, die schwache Schüler im Lernen behindert.
Die Situation verändert sich grundlegend, wenn man Rechnen als das versteht, was es der Sache nach ist: die Lösung eines Anzahl- oder Größenproblems.
Auf dieser Grundlage können alle Kinder rechnen. Die Aufgabe des Unterrichts besteht nicht mehr darin, das Rechnen zu lernen, sondern das innere Zahlkonzept so zu entwickeln, dass Rechenvorgänge im Sinne abstrak- ter Denkvorgänge gelöst werden können.
Zahlen, Zahlworte und Zahlzeichen existieren auf unterschiedlichen Abstraktionsstufen
Wir sind es gewohnt, mit der Zahlwortreihe zu beginnen, da die Kinder hier ein Anfangswissen mitbringen und Zahlen vor allem aus der Zahlwortreihe heraus kennen. In der Praxis zeigt sich dieser ‚natürliche‘ Einstieg jedoch gerade als Problem. Es zeigt sich nämlich, dass nicht wenige Kinder im Zahlwortreihenkonzept hängen bleiben und zählend rechnen. Das hängt unter anderem damit zusammen, dass unsere Zahlworte und Zahlzeichen die kardinale Wirklichkeit nahezu völlig unkenntlich machen.
Mühsam versucht man daher im Unterricht in Stufen wie ‚enaktiv-ikonisch-symbolisch‘ diesen kardinalen Untergrund der Zahlworte und Zahlzeichen zu festigen. Dabei wir übersehen, dass schon die Handlungsebene die kardinale Wirklichkeit unterschiedlich abstrakt wiederspiegelt und dass das Symbol eines Zahlzeichens selbst unterschiedlich abstrakt sein kann. (Es macht einen Unterschied, ob man Zahlen am Rechenrahmen, mit Dienes-Material oder mit Geldmünzen darstellt, und es macht einen Unterschied, ob man für die 12 unser Zahlzeichen verwendet oder eine römische XII.
Rechnen-durch-Handeln nutzt die Differenzen, die in der Abbildung gezeigt werden, ganz bewusst. Während einerseits die Inhalte Arithmetik-Lehrplanes bearbeitet werden, wird zugleich darauf geachtet, dass die Abstraktionsstufe der verwendeten Rechenmittel zum inneren Abstraktionsniveau der Kinder passt. Indem die Kinder verständige Rechenhandlungen ausführen, entwickeln sie ihre Vorstellungen von der Zahl und werden gleichzeitig reif dafür, das Abstraktionsniveau bei den Rechenhandlungen anzuheben.
Insbesondere in den ersten beiden Schuljahren durchlaufen sie die Kulturgeschichte der Zahl implizit im Schnell-durchlauf. Und auch im 3 und 4. Schuljahr lassen sich Themen wie Zahlraumerweiterung oder schriftliche Rechenverfahren dadurch verständlich vermitteln, dass man die Zahlen und Rechenhandlungen in Einführungs-phasen in der Abstraktionsstufe absenkt verwendet, um diese dann schrittweise wieder anzuheben.
Erst kommt das Rechnen, dann die Zahl
Was eine Zahl ist, kann man nur verstehen, wenn man mit Zahlen umgeht. Man muss sie im Gebrauch kennenlernen. Definiert man Rechnen als das Lösen eines Anzahl oder Größenproblems, so ist es möglich, über jede Rechenhandlung ins Thema einzusteigen.
In Abbildung 2 sehen Sie, wie die Aufgabe 12:3 dadurch gelöst wird, dass 12 Würfel auf der Abstraktionsstufe ‚analoge Abbildung‘ an drei Spielkegel verteilt werden.
Das Interessante dabei ist, dass die Kinder bei solchen Rechenhandlungen ganz automatisch immer wieder auf sich wiederholende Zahlbausteine stoßen. (Hier 3∙ 4.) Dabei wird nicht nur der strukturelle Zusammenhang zwischen verteilen und vervielfachen kennengelernt. Vor werden, wenn man die Aufgaben schwerpunktmäßig in diesem Bereich belässt, die protoquantitativ, also ohne Zählvorgang unterscheidbaren Zahlbausteine 1, 2, 3, 4 kennengelernt. Die Kinder erfahren an der Bestimmung der Lösung der Division, dass Zahlworte Namen für kardinal unterschiedliche Realitäten sind. Sie erfahren, dass die Lösungsbestimmung nicht auf das Aufsagen der Zahlwortreihe angewiesen ist.
Der Aufbau von Zahlbausteinen ist (neben der Hinführung zum inneren Zahlkonzept reversibler Zehner) die Kernaufgabe des ersten Schuljahres, da dies die Voraussetzung für die Ablösung vom zählenden rechnen darstellt. Das Beispiel zeigt exemplarisch, wie die Entwicklung des Zahlkonzepts durch die Praxis des handelnden Rechnens unterstützt wird.
Ganz entsprechend finden auch die Zahlraumerweiterungen in den zwei- drei- und vierstelligen Zahlbereich wesentlich über Rechenhandlungen statt, durch die der jeweils neue Zahlenraum mit seinen Worten und Zeichen vertraut wird.
Notationen als verschriftlichte Handlungsvorgänge
Notationen dürfen nicht als zusätzlicher Lernstoff eingeführt und empfunden werden. Das Kind muss sie als Möglichkeit erleben, sein eigenes Denken sichtbar zu machen. Das gelingt, wenn man Rechenhandlungen nicht nur durchführen sondern immer wieder auch in Worte fassen lässt.
Ein Kind, das seine Rechenhandlung, also den Weg zur Lösung des Pro-blems mit Worten beschreiben kann, wird dankbar sein, wenn man ihm zeigt, wie es dieses Gedankengang auf einfache Weise symbolisch sichtbar machen kann.
Bei der in der Abbildung sichtbaren Rechenhandlung der Addition 36 + 6 = wurde die Lösung 42 dadurch gefunden, dass der Zehner durch das Verschieben von vier Plättchen aufgefüllt wurde. Hier ist es naheliegend, dieses Schieben in die Notation zu übernehmen.
Es gibt eine Vielzahl von Notationslogiken, die eng mit dem jeweils verwendeten Rechenmittel und der jeweiligen Rechenhandlung verbunden sind. (Siehe Ratgeber, S.141ff. 156ff. 166ff.)
Im Unterricht ist es wichtig, diese unterschiedlichen Notationen präsent zu haben, auch damit ein konkretes Kind in einer konkreten Situation die Möglichkeit hat, entsprechend seiner inneren Vorstellungen Unterstützung zu finden.
Kopfrechnen als kompetenter Umgang mit strukturierten Zahlen
Kopfrechnen wird möglich, wenn die kardinalen und strukturellen Vorgänge, die hinter einer Rechnung stecken, innerlich verankert sind. Grundlage dafür bietet die erfahrene und reflektierte Rechenhandlung. Das Kind soll nicht nur tun, sondern auch wissen und beschreiben, was es tut.
Diese Reflektion findet im Unterricht statt, wenn in der Gruppe gemeinsam, mit einem Mitschüler oder mit der Lehrkraft über eine Rechenhandlung gesprochen wird. Sie geschieht ebenfalls, wenn ein Kind die Rechen-handlung nicht selbst vollzieht, sondern diese einem anderen Kind (mit oder ohne Sichtkontakt auf die Handlung) anweist.. Und sie passiert still im Hintergrund, wenn das Kind eine Notation anwendet, die es aus einer Rechen-handlung abgeleitet hat.
Das allein reicht jedoch nicht aus. Ein weiteres sehr wichtiges Element für kompetentes Kopfrechnen liegt im absolut gefestigten Zerlegungswissen!
Nicht wenige rechenschwache Kinder haben zwar die richtigen Vorstellungen, fallen aber allein deshalb ins zählende Rechnen zurück, weil ihnen die Zahlzerlegungen der 10 und die Zahlzerlegungen aller Zahlen bis 10 nicht wirklich spontan zur Verfügung stehen oder weil sie das Zerlegungswissen nicht in seiner Beziehung zu Addition und Subtraktion kennengelernt haben.
Systematisches Zerlegungstraining ist daher ebenfalls ein wichtiger Baustein im Gesamtkonzept Rechnen-durch-Handeln.
Hinausschieben des Zehnerübergangs
Ohne Zerlegungswissen kann man nicht in Schritten denken. Wer bei 6+7= nicht weiß (!), dass bis zur 10 noch 4 fehlen und dass von der 7 dann noch 3 übrig bleiben, wird die Aufgabe durch Weiterzählen lösen.
Für viele Kinder kommt der Zehnerübergang in der Mitte der ersten Klasse viel zu früh. Gleichzeitig bietet das Verharren im kleinen Zahlraum an der Zahlreihe orientierten Kindern ebenfalls keinen Anreiz, sich mit der Zehner-Einer-Struktur auseinanderzusetzen.
Hier ist es (neben dem Aufbau des Hunderterraumes als Grundvoraus-setzung eines Zehner-Einer-Konzeptes/vergl. Ratgeber, S. 76ff.) hilfreich, wenn man den Zahlraum bis 20 auf Fünferbasis öffnet. Um strukturiert mit dem fünfer zu rechnen reicht es, die einfachen Zerlegungen der 5 (1/4 und 2/3) so wie die Zerlegungen der Zahlen bis 5 (1/1, ½, 1/3, 2/2) spontan abrufbar zu haben.
Dieses Zerlegungswissen ist durch entsprechende Zähl-, Zerlegungs- und Rechenhandlungen in den ersten 12 Wochen gut aufzubauen.
Gleichzeitig bietet der Fünfer die Chance, das wichtige Konzept einer reversiblen Bündelung in einem Zahlraum zu erfahren, der nahe an der protoquantitativen Wahrnehmung liegt. (Siehe Foto.)
Verändert man nämlich die Abstraktionsstufe und lässt die Kinder mit konkreten Bündelungsobjekten rechnen, so zeigt die Aufgabe 6-2= den Vorteil des veränderten Abstraktionsniveaus.
Anders als der gefärbte 20er-Rahmen, zwingt die Fünferstange das Kind in den zwei Schritten „Einer weg, noch einer.“ zu denken. Eine rein abzählende Lösung („1, 2 weg. 1, 2, 3, 4 da.“) ist bei diesem Rechenmittel nicht möglich. Gleichzeitig sorgt die Anforderung, die 5er-Stange nicht aufzulösen, sondern nur virtuell zu entbündeln (Ratgeber, S.79), dass die bekannten Zahlbausteine bis 4 genutzt werden.
Die Abbildung unten zeigt, wie dieses Handlungskonzept später genutzt werden kann, um den Zehnerübergang in Schritten am Beispiel der Subtraktion 13-5=8 einzuführen.
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